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辅助圆解决角度定值问题难点突破_教育频道_东方资讯

发布日期:2020-06-03 05:33   来源:未知   阅读:

原标题:辅助圆解决角度定值问题难点突破

本文介绍一道60°有关的几何压轴题,难度方面比前面介绍的问题还稍微难一些。

题目选自 2019?衢州。

【中考真题】

(2019?衢州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E,点M是线段AD上的动点,连结BM并延长分别交DE,AC于点F、G.

(1)求CD的长.

(2)若点M是线段AD的中点,求EF/DF的值.

(3)请问当DM的长满足什么条件时,在线段DE上恰好只有一点P,使得∠CPG=60°?

【分析】

上一篇我们介绍的是45°的函数压轴题,本文是一道几何压轴题。

本质上面都是角度定值的问题。

由于G是动点,所以难度略微提升。但是只要把点G确定了,其实问题就不大了。

那怎样才能使得 线段DE上恰好 只有一个点P呢?

上面的问题中巧妙的地方在于线段和一个。

如果是直线的话,那么情况就少了,必然是三点构造辅助圆相切的时候。

但是现在变成线段了,所以相交也是有可能的。

什么意思呢,相交的时候,另一个交点在点D的左边或者点E的右边,那依然是不在线段上。所以要进行分类讨论。

【答案】解:(1)∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,

∴∠DAC=1/2∠BAC=30°,

在Rt△ADC中,DC=AC?tan30°=6×√3/3=2√3.

(2)由题意易知:BC=6√3,BD=4√3,

∵DE∥AC,

∴∠FDM=∠GAM,

∵AM=DM,∠DMF=∠AMG,

∴△DFM≌△AGM(ASA),

∴DF=AG,

∵DE∥AC,

∴EF/AG=BE/AB=BD/BC,

∴EF/DF=EF/AG=BD/BC=(4√3)/(6√3)=2/3.

(3)∵∠CPG=60°,过C,P,G作外接圆,圆心为Q,

∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形.

①当⊙Q与DE相切时,如图3?1中,作QH⊥AC于H,交DE于P.连接QC,QG.

设⊙Q的半径为r.则QH=1/2r,r+1/2r=2√3,

∴r=(4√3)/3,

∴CG=(4√3)/3×√3=4,AG=2,

由△DFM∽△AGM,可得DM/AM=DF/AG=4/3,

∴DM=4/7AD=(16√3)/7.

②当⊙Q经过点E时,如图3?2中,延长CQ交AB于K,设CQ=r.

∵QC=QG,∠CQG=120°,

∴∠KCA=30°,

∵∠CAB=60°,

∴∠AKC=90°,

在Rt△EQK中,QK=3√3-r,EQ=r,EK=1,

∴12+(3√3-r)2=r2,

解得r=(14√3)/9,

∴CG=(14√3)/9×√3=14/3,

由△DFM∽△AGM,可得DM=(14√3)/5.

③当⊙Q经过点D时,如图3?3中,此时点M,点G与点A重合,可得DM=AD=4√3.

观察图象可知:当DM=(16√3)/7或(14√3)/5<DM≤4√3时,满足条件的点P只有一个.

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